boldachev (boldachev) wrote,
boldachev
boldachev

Category:

Ахиллес обгоняет черепаху, а стрела - Ахиллеса

Вот как звучит апория Зенона «Ахиллес и черепаха» в наиболее распространенной (на русском языке) формулировке:
«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху».
Вам не показалось, что рассуждения прерваны слишком рано? Давайте продолжим: когда Ахиллес пробежит десять шагов, черепаха проползет еще один шаг (не свой, а Ахиллесов), когда Ахиллес сделает очередной шаг, черепаха проползет еще одну десятую шага... И все. Дальше никаких «так далее» - на следующем шаге Ахиллес переступит через черепаху.

Нет-нет, конечно, это не разоблачение апории, не разрешение противоречия, а всего лишь демонстрация того, как осторожно надо относиться к формулировкам, вернее, переформулировкам: вариант с шагами есть лишь вольный пересказ Аристотеля, изложившего апорию «Ахиллес и черепаха» в своей «Физике» так:
«Самый быстрый бегун никогда не догонит самого медленного, т. к. догоняющий должен прежде достичь того места, откуда сдвинулся убегающий, так что более медленный всегда будет чуть впереди».
Как видите, у Аристотеля никаких шагов. С введением шагов уничтожается сама суть апории, которая строится на допущении бесконечной делимости расстояния. Ведь если рассуждать в терминах конечных отрезков (шагов), то становится понятно, что Ахиллес, приблизившись к черепахе на расстояние меньше шага, следующим своим шагом перегонит ее.

Итак, апория «Ахиллес и черепаха» остается актуальной только если в ее формулировке используется понятие непрерывного движения от точки к точке. Тогда действительно можно написать «и так далее»: пока Ахиллес преодолеет расстояние до того места, где была черепаха (мы остановились на одной десятой шага), последняя переместится еще на одну сотую шага и т.д.

Однако именно сравнение пошаговой интерпретации с оригинальной версией, на мой взгляд, может привести к пониманию ошибки, лежащей в формулировке апории. Зададим себе вопрос: почему в варианте с шагами Ахиллес без проблем обгоняет черепаху? Вот Ахиллес наступил на то место, где шаг назад была черепаха, и за то время, когда он сделает свой следующий шаг, черепаха переместится лишь на 1/100 шага, а значит, Ахиллес обгонит ее. Ключевыми тут являются слова «за то время» - в примере с шагами движение Ахиллеса и черепахи описывается в стандартной, привычной для нас форме «движущееся тело переместилось на некоторое расстояние за некоторый промежуток времени». Для анализа движения (движется Ахиллес или стоит) и уж подавно для сравнения двух движений (движется ли Ахиллес быстрее черепахи) мы обязаны не просто оперировать расстояниями, а сравнивать отрезки, преодоленные за некоторый фиксированный промежуток времени. В нашем примере это время совершения одного шага, и простой констатации того, что черепаха проходит за это время в сто раз меньшее расстояние, чем Ахиллес, достаточно, чтобы понять, что Ахиллес, конечно, догонит и перегонит ее.

Еще раз акцентирую внимание: любое движение воспринимается и описывается нами только и исключительно как изменение положения в пространстве, отмеченное за фиксированный (не нулевой) промежуток времени. Сейчас тело здесь, а через некоторое время - уже там. Мы не можем констатировать наличие движения без обращения к понятию «промежуток времени». Если не указан промежуток времени, то и бессмысленно сравнивать движения. А ведь именно такое описание движения - описание только через сравнение пространственных отрезков без соотнесения их с некоторым промежутком времени - и предложил нам Зенон (в изложении Аристотеля): «догоняющий должен прежде достичь того места, откуда сдвинулся убегающий...» Добавьте сюда понятие «время» и парадокс исчезнет: за время ∆t, за которое догоняющий должен достичь того места, откуда сдвинулся убегающий, последний переместится еще на какое-то, но меньшее, чем пробежал догоняющий, расстояние, а следовательно, через такой же промежуток времени ∆t убегающий будет обогнан.

Ну и понятно, что и другая апория Зенона «Стрела» имеет аналогичное происхождение – в ней также игнорируется условие, что любое движение может быть описано только и исключительно на языке промежутков времени и расстояний. В апории же нам предлагается описание движения в терминах «момент времени» и «точка пространства». Смотрим у Аристотеля:
«Если всякое [тело], говорит он, покоится там, где оно движется, всякий раз, как занимает равное [себе пространство], а движущееся [тело] всегда [занимает равное себе пространство] в [каждое] «теперь», то летящая стрела неподвижна».
Или по-русски:
«Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение».
Что ж удивительного в утверждении, что в точке пространства и в момент времени стрела не движется? Она действительно не движется, поскольку как для восприятия движения, так и для его описания всегда необходимо оперировать связкой «промежуток времени» и «расстояние».

Итак, какой же вывод можно сделать из приведенного анализа апорий Зенона? Да такой же, какой делался и прежде: парадоксы возникают вследствие неадекватности нашего мышления, нашего словесного описания тех или иных феноменов мира, в частности, движения. Правда с одним существенным дополнением: противоречия, возникающие в апориях Зенона, связаны не с принципиальной невозможностью описания движения, а с попыткой сделать это на неподобающем языке – либо только в терминах расстояний («Ахиллес и черепаха»), либо в терминах «момент времени» и «точка пространства». Если же использовать для описания движения связку понятий «промежуток времени» и «расстояние», то никаких парадоксов не возникнет: Ахиллес без труда перегонит черепаху, а стрела просвистит над его головой.

См.:
Парадокс брадобрея
Я лгу
Tags: время, логика
Subscribe

  • Истина и истинность

    Итак, прикрепление ярлычка «истина» к высказыванию происходит в момент изменения Понимания, когда скачок Понимания связывается нами с…

  • От блаженного к мудрому

    Согласованность картины мира по разному реализуется на разных уровнях: блаженный - установки не вербализуются и поэтому не могут вступать в…

  • Про интеллект

    Фрагменты обсуждения в ЖЖ serge_gorshkov в записях Логика, искусственный интеллект и договороспособность умных людей и Искусственный…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 12 comments

  • Истина и истинность

    Итак, прикрепление ярлычка «истина» к высказыванию происходит в момент изменения Понимания, когда скачок Понимания связывается нами с…

  • От блаженного к мудрому

    Согласованность картины мира по разному реализуется на разных уровнях: блаженный - установки не вербализуются и поэтому не могут вступать в…

  • Про интеллект

    Фрагменты обсуждения в ЖЖ serge_gorshkov в записях Логика, искусственный интеллект и договороспособность умных людей и Искусственный…